تعداد جواب غیر منفی معادله

برای بدست آوردن تعداد جواب های غیر منفی معادله ی ، مسأله را به شکل یک مسأله ی دیگر مدل سازی می کنیم . فرض می کنیم n توپ یکسان داریم که می خواهیم آن ها را داخل K سبد متمایز بگذاریم . ( دقت کنید که مسأله طوری مدل سازی شده که متغیرها نمی توانند منفی باشند .

یعنی داخل هر سبد ، نمی تواند به تعداد منفی توپ قرار بگیرد ، یا صفر است یا بیش تر ) حالا تعداد حالات های چیدن n توپ یکسان داخل K سبد متمایز را به دست می آوریم؛ برای حل این مسأله باز هم باید مسأله را به مسأله ی دیگری مدل سازی کنیم . K سبد متمایز را به شکل 1 – K عدد یک در نظر می گیریم و n توپ را به صورت n تا عدد صفر .

تعداد حالت هایی که 1 – K عدد یک و n عد صفر را می توان کنار هم چید بدست می آوریم :

این ، جواب همان مسأله ی اولیه است . یعنی تعداد جواب های غیر منفی معادله ی حال اگر بخواهیم تعداد جواب های طبیعی معادله ی را به دست بیاوریم ، همان مدل سازی های بالا را انجام می دهیم ، با این تفاوت که چون همه ی متغیرها حداقل یک هستند، فرض می کنیم همان ابتدای کار یک توپ داخل هر سبد گذاشته ایم و n – K توپ باقی مانده است .

پس تعداد جواب های طبیعی این معادله برابر با تعداد حالت های چیدن n – K توپ یکسان داخل n سبد متمایز و برابر با تعداد حالت های چیدن n – K عدد صفر و 1 – K عدد یک کنار هم است . یعنی :

با همین روش ثابت می شود تعداد جواب های صحیح معادله ی به شرط از اين رابطه بدست مي‌آيد :