معادلات بالا به معادلات پارامتري يک مکان هندسي معروفند که براي تشخيص نوع شکل، بايد رابطه اي بين y,x برقرار کنيم.
بيضي مکان هندسي نقاطي از يک صفحه است که مجموع فواصل آنها از دو نقطهي ثابت مقدار ثابتي است که اين مقدار ثابت بايد از فاصلهي آن دو نقطه بيشتر باشد به دو نقطهي کانون بيضي و مقدار ثابت را با a2 نشان ميدهد. توجه کنيد اگر مقدار ثابت برابر فاصلهي دو نقطه باشد آنگاه مکان هندسي مورد نظر بايد يک خط راست باشد نه بيضي، و اگر کمتر باشد هيچ شکلي تشکيل نخواهد شد.
به فاصلهي بين دو نقطه فاصلهي کانوني گويند و اين فاصله را با c2 نمايش ميدهند. نقطهي وسط بين دو کانون مرکز بيضي است و با o يا w نمايش ميدهند. خطي که دو کانون را به هم وصل ميکند را امتداد ميدهيم محل تلاقي اين خط با بيضي رئوس کانوني بيضي مورد نظر ميباشند و آنرا با نمايش ميدهند. پاره خط را قط کانوني يا قطر بزرگ بيضي مينامند. خطي که در مرکز بر قطر بزرگ عمود است را ادامه ميدهيم محل برخورد اين خط با بيضي رئوس غير کانوني بيضي ميباشد و با نمايش ميدهند که قطر غير کانوني يا کوچک بيضي ميباشد. طول قطر بزرگ با a2 و طول قطر کوچک را با b2 نمايش ميدهند بيضي که قطر بزرگ آن موازي محور x باشد بيضي افقي و اگر قطر بزرگ آن موازي محور yها باشد بيضي قائم مينامند.
يک بيضي افقي که مرکز آن مبدأ مختصات باشد را در نظر ميگيريم. اين بيضي يک بيضي افقي استاندارد ميباشد و معادله آن و مختصات کانوني و رئوس آن عبارتند از:
بيضي افقي است و قطر بزرگ آن موازي محور xها است و ميباشد.
حال اگر در بيضي افقي نقطه مرکز باشد معادله و مختصات کانونها و روئوس به صورت زير ميباشد:
اگر قطر بزرگ بيضي موازي محور yها باشد بيضي را بيضي قائم ميگويند معادلات بيضي و مختصات کانونها و رئوس آن هنگامي که مرکز باشد به ترتيب عبارتند از:
نکته:
در بيضي همواره رابطهي برقرار است بنابراين همواره aبزرگتر از c,b ميباشد .
تذکر1:
در بيضي افقي عدد بزرگتر زير عبارت قرار دارد و در بيضي قائم عدد بزرگتر زير قرار دارد.
تذکر 2:
در بيضي افقي مرکز، کانونها و رئوس کانوني داراي عرض يکسان ميباشند و بالعکس
تذکر3:
در بيضي قائم مرکز،کانونها و رئوس کانوني داراي طول يکسان ميباشند و بلعکس
در هر بيضي نسبت را خروج از مرکز بيضي گويند و با e نمايش ميدهند و همواره داريم :
البته ميتوان گفت و هر چقدر خروج از مرکز بيضي کوچکتر شود بيضي به دايره نزديکتر ميشود و هر چقدر خروج از مرکز بزرگتر شده و به يک نزديکتر شود بيضي کشيدهتر ميشود و در حالت جدي اگر e برابر يک شود بيضي به شکل يک پاره خط در ميآيد.
معادلهي ضمني يک بيضي افقي يا قائم به صورت ميباشد که در آن aو c نا مساوي ولي هم علامتند و عبارت xy در آن وجود ندارد و در اين معادلات مختصات مرکز از مشتق گرفتن نسبت به x(مؤلفهي xمرکز) و مشتق گرفتن نسبت y (مؤلفهي yمرکز) بدست ميآيد. در حالتي که بيضي قائم و در حالتي که بيضي افقي ميباشد
تذکر:
اگر M نقطه اي روي بيضي باشد به خطوط شعاعهاي حامل نقطه M ميگويند.
اگر M نقطه اي در صفحه و کانونهاي بيضي باشند داريم:
براي تعيين وضعيت يک نقطه نسبت به بيضي ميتوانيم از معادلهي ضمني بيضي استفاده کنيم اگر نقطه مورد نظر و معادلهي بيضي باشد (aحتماً مثبت باشد) در اين صورت:
1- معادلات پارامتري
معادلات يک بيضي افقي به مرکز و قطر بزرگ و کوچک به ترتيب مساوي a2وb2 ميباشد.
2- معادلات پارامتري
معادلات يک بيضي قائم به مرکز و قطر بزرگ و کوچک به ترتيب برابر a2وb2 ميباشد.