جمع احتمالها

جمع احتمالها

(منظور از «برآمد» در جملات زير همان «پيشامد» است)

آزمايش پرتاب يک تاس را در نظر بگيريد. شش برآمد هم شانس 1، 6،5،4،3،2 براي اين آزمايش وجود دارد، يعني فضاي نمون اي 6 عضو دارد. پيشامدهاي زير را تعريف مي کنيم:

A: آمدن عدد 2

B: آمدن عدد 6

C: آمدن عدد زوج

D:‌آمدن عدد کوچکتر از 4

هر کدام از اين پيشامدها مجموعه اي از يک يا چند برآمد هستند. در واقع

چون پيشامدها زير مجموعه هاي فضاي نمونه اي هستند، پس فضاي نمونه اي مجموعه مرجع اين پيشامدها است. به روش نمودار ون، فضاي نمونه اي S را به صورت يک مستطيل بزرگ و پيشامدها را به صورت شکلهايي در داخل آن نشان مي دهيم. پيشامدهاي D,C در نمودار زير نشان داده شده اند:

چون شش برآمد هم شانس وجود دارد، . در پيشامد «آمدن يک 2 يا يک 6» دو برآمد وجود دارد:

در اين مثال مي بينيم که

آيا اين رابطه براي هر دو پيشامد دلخواه برقرار است؟‌

پيشامدهاي D,C در بالا را در نظر بگيريد. پيشامد «C يا D» يعني شامل همه برآمدهاي موجود در C يا D يا هر دوي آنها است، يعني

(آمدن عدد زوج يا عددي کمتر از 4 ) p =

(آمدن 6،4،2 يا آمدن 3،2،1)P=

بنابراين، در هر برآمدي به جز 5 وجود دارد. از اين رو دقيقاً 5 برآمد مجزّا وجود دارند که اين پيشامد را تشکيل مي دهند، زيرا در تعيين تعداد اعضاي يک مجموعه، اعضاي تکراري را فقط يکبار مي شماريم، بنابراين

از طرف ديگر مشاهده مي کنيم که که برابر است با . پس در اين مثال، . علت اين هماهنگي را بررسي مي کنيم:

در پيشامد 3C برآمد و در پيشامد D نيز 3 برآمد وجود دارند ولي در

، 5 برآمد وجود دارند. برآمد 2 هم در C است و هم در D، ولي بايد دقت کنيم که هر برآمد را دقيقاً يک بار بشماريم. هنگام محاسبه ، اين برآمد را دو بار به حساب مي آوريم پس بايد يک بار آن را کم کنيم يعني بايد احتمال پيشامد «D,C» يا را از مجموع فوق کم کنيم، به اين ترتيب

اين با نتيجه اي که قبلاً براي به دست آوريم هماهنگي دارد. اين مطلب ما را به قانون جمع احتمالها هدايت مي کند يعني براي دو پيشامد D,C

اين رابطه براي پيشامدهاي B,A در بالا نيز برقرار است زيرا B,A هيچ گاه همزمان رخ نمي دهند، يعني رخ دادن پيشامد غير ممکن است. چون احتمال رخ دادن پيشامدهاي غير ممکن صفر است، پس و