مجموعه ها

مجموعه: دسته ای از اشیای معین که با نام بردن اعضای آن یا معرفی خاصیت مشترک اعضای آن مشخص می شود.

مجموعه ی جهانی: مجموعه ای مانند U را که اعضای مجموعه ی مورد نظرازآن انتخاب می شوند، مجموعه ی جهانی می نامیم.(گاهی مجموعه ی جهانی را با M نیزنشان می دهند)

زیرمجموعه: با حذف برخی ازاعضای مجموعه یA ، مجموعه های دیگری بدست می آیند که به آنها زیرمجموعه می گوییم.

تعداد کل زیرمجموعه های A که n عضو دارد، و تعداد زیرمجموعه های m عضوی آن، است.

مجموعه ای را که هیچ عضوی نداشته باشد مجموعه ی تهی و مجموعه ای را که تعداد اعضای آن یک عدد حسابی باشد متناهی می نامیم.

مجموعه ی توانی: مجموعه ی تمام زیرمجموعه های A را مجموعه ی توانی A می گویند و آن را با( P(A نشان می دهند.

اعمال جبری روی مجموعه ها:

همان طورکه با اعمال جمع وتفریق وضرب و تقسیم درمجموعه ی اعداد، اعداد جدیدی حاصل می شود، درنظریه ی مجموعه ها هم اعمالی مانند اجتماع، اشتراک و تفاضل تعریف می شود که به کمک آنها می توان ازدو مجموعه ی داده شده مجموعه ی جدیدی ساخت.

اجتماع دو مجموعه:

اجتماع مجموعه های B وA ، مجموعه ای است که اعضایش، همه ی اعضای AوB را شامل می شود.

یعنی اعضایش یا متعلق بهA یا متعلق به B یا متعلق به هردو است. اجتماعAوB را به صورت نشان می دهیم. دقت کنید با توجه به تعریف اجتماع داریم:

اشتراک دو مجموعه:

اشتراک دو مجموعه ی AوB مجموعه ای است که اعضایش به هردوی AوB تعلق داشته باشد.

اشتراک دو مجموعه ی AوB را با نشان می دهیم . با توجه به تعریف اشتراک داریم:

اگردو مجموعه ی غیرتهی AوB عضو مشترک نداشته باشند، و دراین حالت AوB را جدا ازهم یا مجزا می گوییم.

متمم یک مجموعه:

مجموعه ی شامل آن دسته ازاعضای مجموعه ی جهانی را که به A تعلق ندارند، متممA می نامیم و آن را با نشان می دهیم. با توجه به تعریف داریم:

قوانین پخش پذیری:

قوانین حاکم بر اجتماع و اشتراک مجموعه ها:

تفاضل دو مجموعه:

اگر AوB دو مجموعه باشند، A-B عبارت است ازمجموعه ی تمام اعضایی ازA که به B تعلق ندارند. اگرB زیرمجموعه ای ازA باشد، آنگاه A-B را متمم B نسبت به A می نامیم.

قوانین دمورگان:

اثبات الف:

تفاضل متقارن:

مجموعه ی تفاضل متقارن دو مجموعه ی AوB شامل اعضایی است که دقیقاً به یکی از دومجموعه ی AیاB تعلق دارند. این مجموعه را با نمایش می دهیم و داریم: