نقطه عطف و مماس کامل

نقطه عطف:

نقطه عطف نقطه‌اي است که در آنجا تابع اولاً پيوسته باشد ثانياً منحني تغيير تقعر داده باشد و ثالثاً خط مماس کامل باشد.

جهت تقعر:

اگر "f (مشتق دوم تابع f) روي بازه [a,b] موجود و همواره مثبت باشد جهت تقعر نمودار f روي اين بازه رو به بالا و اگر همواره منفي باشد جهت تقعر آن رو به پايين خواهد بود. بدين ترتيب براي يافتن نقاط نطف نمودار تابع کافي است نقاط بحراني را تعيين و علامت "f را قبل و بعد از اين نقاط بدست آوريم و نيز وجود خط مماس کامل را در اين نقاط بررسي کنيم اگر علامت "f در راست و چپ نقطه بحراني تغيير کرد و اين نقطه داراي مماس کامل بود، نقطه عطف است.

مماس کامل:

هرگاه مشتق چپ و راست يک تابع در يک نقطه برابر باشند در اين صورت آن نقطه داراي مماس کامل است. در غير اين صورت خط مماس کامل ندارد و نقطه مذکور يک نقطه زاويه‌دار خواهد بود. مثلاً در شکل (2) نقاط نقاطي هستند که هر چند تمام ويژگي‌هاي نقطه عطف را دارند. اما چون خط مماس در اين نقاط کامل نيست عطف به حساب نمي‌آيند و به اين نقاط، نقاط زاويه‌دار مي‌گويند.

تعيين نقطه عطف:

نقطه عطف تابع در جايي اتفاق مي‌افتد که مشتق دوم تابع در آن نقطه صفر باشد چرا که در اين صورت علامت "f در سمت راست و چپ اين نقطه مخالف يکديگر خواهد بود و در واقع در اين نقطه جهت تقعر عوض مي‌شود.

نکته 1: در توابع چند جمله‌اي کافي است ريشه‌هاي مشتق دوم تابع را بدست آوريم. در اين صورت ريشه‌هاي ساده يا مکرر مرتبه فرد "f طول نقطه عطف تابع است.

"y در x=0 تغيير علامت نمي‌دهد پس نقطه عطف نيست.