اولین قضیه بنیادی انتگرال

مشتق به عنوان نسبت تغييرات به کار مي رود، از طرف ديگر با داشتن مشتق مي توان اطلاعاتي را در رابطه با تابع به دست آورد. (مثلاً مي توان مسافت را با استفاده از سرعت لحظه اي بدست آورد.) بنابراين يک ارتباط منطقي بين انتگرال و مشتق وجود دارد. قضاياي بنيادي حساب ديفرانسيل و انتگرال اين ارتباط منطقي را نشان مي دهند.

اولين قضيه بنيادي انتگرال:

1) مفروضات : فرض مي کنيم f بر فاصله [a,b] تابعي پيوسته و براي هر x که است، آنگاه براي هر x که

2) اگر u تابعي از x باشد چنانچه آنگاه

3) اگر v وu دو تابعي از x باشند چنانچه آنگاه

4) تابع مساحت (A(x که براي آن داريم : ، يک تابع اوليه (f(x نيز مي نامند و اولين قضيه اساسي مبين اين واقعيت است که هر تابع پيوسته داراي يک تابع اوليه است که همان تابع مساحت مي باشد. هرگاهc مقدار ثابت دلخواهي باشد A(x)+ c نيز يک تابع اوليه ديگر براي تابع (f(x است، زيرا:

دومين قضيه بنيادي انتگرال :

فرض : F تابع اوليه دلخواه تابع پيوسته f است.

نتيجه:

دومين قضيه اساسي را مي توانيم چنين بنويسيم :

که تابع اوليه را انتگرال نامعين تابع (f(x نيز مي نامند.