دستگاه معادلات خطی- 3

تعريف: دستگاه m معادله و n مجهول

را به صورت ماتريسي به شکل:

يا AX=B نمايش مي‌دهند که در آن يک ماتريس مي‌باشد.

نکته:

اگر B=D باشد (يعني تمام مقادير ثابت دستگاه مساوي صفر باشند) دستگاه را همگن مي‌گويند. دستگاه همگن AX=O همواره داراي جواب X=O يا مي‌باشد اين جواب را جواب بديهي دستگاه همگن مي‌نامند. شرط وجود جواب غير صفر براي دستگاه معادلات همگن AX=O اين است که باشد و در اين حالت دستگاه داراي بي نهايت جواب خواهد بود.

قضيه: در دستگاه معادلات خطي AX=B اگر تعداد معادلات و مجهولات برابر باشند (m=n) دستگاه در صورتي جواب منحصر بفرد دارد که ماتريس A وارون پذير باشد و به عبارت ديگر باشد. در اين حالت جواب دستگاه عبارتست از دستگاه يا داراي جواب نيست يا بي نهايت جواب دارد.

نکته:

در دستگاه سه معادله سه مجهول مي توان هر يک از معادلات را معادله يک صفحه در نظر گرفت و حل دستگاه در واقع پيدا کردن فصل مشترک اين سه صفحه مي‌باشد. ارتباط بين تعداد جواب‌هاي دستگاه و نقاط تقاطع صفحه‌ها در شکل‌هاي زير نمايش داده شده است.

نکته:

در دستگاه mمعادله،مجهول AX=B اگر تعداد نعادلات بيش از مجهولات باشد دستگاه جواب ندارد. مثلاً در حالت سه معادله و دو مجهول دستگاه به صورت:

در مي‌آيد که هر يک از معادلات نشان دهنده يک خط راست در صفحه مي‌باشد، که جواب دستگاه نقطه مشترک (تقاطع) هر سه خط مي‌باشد. بسته به حالت خط‌ها و دستگاه يا جواب ندارد و با فقط يک جواب دارد و تنها در حالتي که هر سه خط بر هم منطبقند (در واقع هر سه معادله يکي باشند) دستگاه بي شمار جواب دارد.

نکته:

در دستگاه m معادله nمجهولي AX=B اگر تعداد مجهول‌ها بيش از تعداد معادلات باشد دستگاه يا جواب ندارد و يا بي شمار جواب دارد و دستگاه هيچ گاه جواب منحصر به فرد ندارد. در دستگاه دو معادله و سه مجهولي هر يک از معادلات نشان دهنده يک صفحه در فضاي مي‌باشد. اگر اين دو صفحه موازي و غير منطبق باشند دستگاه جواب ندارد، زيرا دو صفحه يکديگر را قطع نمي‌کنند. و اگر دو صفحه موازي نباشند يکديگر را در يک خط قطع مي‌کنند که هر يک از نقاط اين خط جواب دستگاه ما مي‌باشد که بي شمار جواب وجود دارد اين خط فصل مشترک دو صفحه نام دارد.

تذکر: براي حل دستگاه معادلات خطي اعمالي روي معادلات انجام مي‌دهيم که اين اعمال جواب‌هاي دستگاه را تغيير نمي دهند. دستگاه معادلاتي را که پس از انجام اين اعمال ايجاد مي‌شوند دستگاههاي هم ارز با دستگاه اوليه مي‌نامند و جواب‌هاي آنها يکسان مي‌باشد. اين اعمال عبارتند از:

1- تعويض جاي دو يا چند تا از معادلات

2- ضرب طرفين يک معادله در يک عدد غير صفر

3- افزودن مضربي از طرفين يکي از معادلات به معادله ديگر

نکته:

در دستگاه معادلات AX=B، ماتريس ضرائب دستگاه همراه با يک ستون اضافي که از مقادير ثابت تشکيل يافته است را ماتريس افزوده مي‌نامند. و آن را يه صورت نمايش مي‌دهند. اگر A ماتريس n×m باشد ماتريس افزوده يک ماتريس مي‌باشد.

تذکر: عمليات سطري مقدماتي روي ماتريس دلخواه A عبارتند از:

1- تعويض دو سطر دلخواه j,I از ماتريس A.

2- ضرب سطر iام ماتريس A در يک عدد غير صفر.

3- افزودن k برابر سطر iام به سطر jام ماتريس A

اين اعمال مشابه اعمالي است که بر روي معادلات يک دستگاه انجام مي‌شد تا دستگاهي هم ارز ايجاد شود.

نکته:

در هر سطر يک ماتريس که همه‌ي درايه‌هاي آن صفر نباشند اولين درايه غير صفر سطر از سمت چپ را درايه پيشرو آن سطر مي‌نامند.

ماتريس ، A به شکل سطري پلکاني تحويل يافته است هرگاه داراي ويژگي‌هاي زير باشد.

1- تمام سطرهايي که فقط شامل درايه‌هاي صفرند در صورت وجود در پايين ماتريس ظاهر شوند.

2- درايه پيشرو سطرهاي غير صفر برابر 1 باشد.

3- در دو سطر متوالي iو1+iام که داراي درايه هاي پيشرو هستند درايه پيشرو و سطر 1+iام در سمت راست درايه‌ي پيشرو و سطر iام باشد.

4- اگر ستوني شامل درايه ي پيشرو سطري باشد، ساير درايه هاي آن ستون برابر صفر باشند. هرگاه ماتريس داراي ويژگي هاي اول تا سوم باشد به شکل سطري پلکاني مي باشد. مثلاً ماتريس به شکل سطري پلکاني است. و ماتريس سطري پلکاني تحويل يافته است.

نکته:

براي حل دستگاه معادلات خطي به روش حذفي گاوس با ماتريس افزوده شروع کرده و عمليات سطري مقدماتي را تا آنجا ادامه مي‌دهيم که ماتريس به شکل سطري پلکاني در آيد. سپس از روي آن دستگاه معادلات را حل مي‌کنيم. البته در اين روش حتماً لازم نيست که درايه ي پيشرو هر سطر برابر 1 باشد و عمليات تا آنجا ادامه پيدا مي‌کند که تمام درايه‌هاي پايين درايه‌ي پيشرو در هر سطر صفر شوند.

در روش گاوس-جردن براي حل دستگاه معادلات خطي مانند روش حذفي گاوس عمل مي‌کنيم. با اين تفاوت که در اين روش عمليات روي ماتريس را تا آنجا ادامه مي‌دهيم که ماتريس به صورت سطري پلکاني تحويل يافته درآيد. که در اين حالت درايه‌هاي پيشرو هر سطر برابر 1 و تمام درايه هاي بالا و پايين درايه پيشرو و سطرها برابر صفر باشند در اين حالت هر يک از مجهولات مستقيماً بدست مي‌آيد.

نکته:

دستور کرامر: در دستگاه سه معادله-سه مجهولي

که A ماتريس ضرائب آن است، ماتريس که ماتريس 3×3 است و از تعويض ستون jام ماتريس A با بدست آمده است. در اين حالت اگر باشد جواب منحصر بفرد و دستگاه فوق از فرمول‌هاي زير بدست مي‌آيد: