حد و پیوستگی

مفهوم ميل کردن x به سمت از راست: اگر محو xها را درنظر بگيريم و را نقطه‌اي ثابت بر آن فرض کنيم

و فرض کنيم که باشد. وقتي مي‌گوييم که x به سمت ميل مي‌کند از راست يعني با مقادير بيش از 2 مي‌خواهيم به 2 نزديک شويم مثلا از 4 = x حرکت مي‌کنيم و به 3=x مي‌رسيم و بعد به 5/2 = x مي‌رسيم و سپس به 2/2 = x مي‌رسيم و همينطور به نزديک و نزديک مي‌شويم.

مفهوم اين تعريف آن است که وقتي متغير x به سمت عدد ميل مي‌کند، x به عدد بسيار نزديک مي‌شود اما با آن برابر نمي‌شود يعني است.

مفهوم ميل کردن x به سمت از چپ: اگر محور xها را درنظر بگيريم و را نقطه‌اي ثابت مثلا فرض کنيم

وقتي مي‌گوييم x به سمت از چپ ميل مي‌کند يعني با مقادير کمتر از 2 مي‌خواهيم به 2 نزديک شويم، مثلا از 0 = x حرکت مي‌کنيم و سپس به 1 = x مي‌رسيم بعد به 5/1 = x مي‌رسيم و بعد هم به 7/1 x مي‌رسيم و از آن هم مي‌گذريم گام به گام به عدد 2 خيلي نزديک مي‌شويم اما به 2 = x ميرسيم يعني . حالا به مفهوم حد تابع مي‌پردازيم:

حد تابع يعني عددي که تابع (f(x به آن نزديک مي‌شود. در موقعي که متغير تابع يعني x به نزديک مي‌شود حالا اگر x به از سمت راست ميل کند در اين صورت مي‌نويسيم و اگر هم x به از سمت چپ ميل کند مي‌نويسيم : يعني وقتي که x به سمت از سمت راست ميل مي‌کند تابع (f(x به a ميل مي‌کند. و وقتي که x به سمت از چپ ميل مي‌کند تابع (f(x به b ميل مي‌کند و ضمنا اگر a=b باشد مي‌گوييم تابع f در حد دارد.

به مثال زير توجه کنيد: در اين مثال فرض شده است.

تابع f(x)=2x+1 را درنظر مي‌گيريم و مقدار اين تابع را براي برخي مقادير x کوچکتر از 1 که به تدريج به سمت عدد 1 ميل مي‌کنند، همچنين مقدار اين تابع را براي بعضي مقادير x بزرگتر از 1 که به تدريج به عدد 1 نزديک مي‌شوند، محاسبه مي‌کنيم.

خوب که توجه مي‌کنيم متوجه مي‌شويم که در رديف (f(x که همان مقادير تابع است مرتبا هم از راست و هم از چپ به عدد 3 نزديک و نزديک تر مي‌شويم و در نتيجه .