زوال کربن ( مدلسازی ریاضی )

اگر در مسئله ای مقدار یک عنصر با گذشت زمان کاهش یابد، به آن مسأله زوال می گویند.

مثال: نیم عمر یک ادکلن 3 روز است. هرگاه 24 لیتر از این ادکلن موجود باشد و در آن باز بماند. پس از گذشت چند روز فقط 3 میلی متر از این ادکلن باقی می ماند؟

پاسخ: حل این مسأله به کمک مفهوم زوال به صورت زیر می باشد:

بنابراین بعد از (9=3+3+3) روز این ادکلن از 24 میلی لیتر به 3 میلی لیتر می رسد.

توجه: معمولاً در مسائل زوال به دنبال مدت زمانی هستیم که مقدار جسم مورد نظر به کسری از مقدار اولیه اش کاهش پیدا کند. اگر این کسر نصف (٪50) یا ربع (٪25) و یا (٪5/12) و یا (٪25/6) مقدار اولیه اش باشد و نیم عمر آن هم مشخص باشد، قدمت این جسم به راحتی به دست می آید.

به مثال 2 توجه کنید: اگر نیم عمر یک ماده رادیو اکتیو 10 روز باشد، پس از چند روز ٪25 از این ماده باقی می ماند؟

پاسخ: اگر کسر داده شده از ماده اولیه به صورت درصد باشد، مقدار اولیه ماده را ٪100 در نظر می گیریم بنابراین با توجه به مفهوم نیم عمر داریم:

بنابراین پس از 20 روز، 25٪ از ماده فوق باقی می ماند.

تعیین قدمت اجسام فسیل شده از طریق آزمایش کربن

در باستان شناسی از آزمایش کربن برای تعیین قدمت اجسام فسیل شده استفاده می شود. زیرا مقدار ايزوتوپ کربن هر 5700 سال به نصف مقدار اولیه خود می رسد. (در برخی مسائل ممکن است نیم عمر کربن عددی غیر از 5700 سال فرض شود.) برای مثال در یک دوره زمانی که 11400=5700+5700 سال می باشد. 25٪ از ايزوتوپ کربن باقی می ماند و در سه دوره زمانی که 17100=5700+5700+5700 می باشد ٪5/12 از آن باقی می ماند و در چهار دوره زمانی که 22800 سال می باشد 25/6٪ از آن باقی می ماند.

مثال: کربن یک استخوان فسیل شده شامل 25٪ مقدار معمولی است. قدمت این جسم تقریباً چند سال است؟ (نیم عمر کربن 5700 سال می باشد)

پاسخ: با توجه به مفهوم نیم عمر کربن داریم:

بنابراین قدمت فسیل شده 11400 سال می باشد سال 11400=5700+5700 و بدانید که همیشه در یک مسأله مقدار نیم عمر کربن رو می دهند. که معمولاً 5700 سال می باشد.

نکته: اگر مقدار ايزوتوپ باقی مانده از حجم اولیه، در مورد، مواردی غیر از درصدهای گفته شده باشد (یعنی غیر از 50٪ و 25٪ و 5/12٪ و 25/6٪ باشد) مثلاً ٪20 باشد برای بدست آوردن قدمت جسم، باید از رابطه زیر استفاده کنیم:

که در آن b درصد کربن باقی مانده است. T تعداد دوره های زمانی که طی شده است. A مدت زمان نیم عمر (مثلاً 5700) و t مدت زمانی که سپری شده است.

مثال: کربن یک استخوان فسیل شده شامل فقط 20 درصد مقدار معمولی است. قدمت این استخوان تقریباً چند سال است؟

(نیم عمر کربن 5700 سال است. )

حال با توجه به اين نيم عمر (يعني 5700=Aسال) است داریم: